לפני תחילת הקריאה במאמר הזה, מומלץ לצפות בסרטון הקצר שלהלן. בהמשך המאמר יוזכרו חלק מהתבניות המככבות בסרטון.
בשעות הערב של ה-7 ביולי 1996, קצת אחרי השעה 18.00 הבחינו תיירים שנסעו על כביש A 303 הסמוך לאתר הארכיאולוגי המפורסם, סטונהנג', הנמצא בדרום אנגליה בתבנית מרהיבה בתוך שדה חיטה הנמצא מדרום לכביש. השדה נמצא על מדרון מתון היורד לכיוון סטונהנג', והוא נצפה כל העת מהאתר ההומה אדם בכל שעות היום.

התבנית המזכירה במשהו פרקטל מתמטי הקרוי על שמו של גאסטון ג'וליה (Gaston Julia), הכילה 151 מעגלים בקטרים שונים שהיו מסודרים על קו "ספירלי".

פרקטל ג'וליה שנוצר על מסך מחשב
תבניות מרהיבות בשדות חיטה, שעורה, תירס ועוד הופיעו מזה מספר שנים בשדות רבים בדרום אנגליה, אולם זו הייתה הפעם הראשונה שתבנית מורכבת כזאת התגלתה בקרבת אתר תיירות מפורסם וכביש סואן. יתרה מכך, עפ"י מספר עדויות היא נוצרה באור יום בפרק זמן שאינו עולה על 45 דקות.
שלושה עדים בלתי תלויים (טייס שהוביל תיירים מעל האתר, איש בטחון העובד באתר ושומר חקלאי העובד בסביבה) העידו כי בשעה 17.30 התבנית לא הייתה בשדה, ולמרות זאת מספר דקות אחרי השעה 18.00 דיווחו תיירים שנסעו על הכביש הסמוך על הימצאותה שם. עדות מרתקת שנמסרה מפי נהגת מונית שהייתה עדת ראיה יחד עם אנשים נוספים להיווצרות התבנית ניתן למצוא בקישור הזה. עפ"י עדותה התבנית לא נוצרה על ידי בני אדם. זהותם של יוצרי התבנית הזאת כמו של רבות אחרות אינה ידועה עד לכתיבת שורות אלה (ראו גם להלן).

תבנית זו ואלפי תבניות דומות שהחלו להופיע במהלך שנות השבעים של המאה הקודמת ברחבי שדות דרום אנגליה ובמקומות אחרים בעולם זכתה לשם "מעגלי תבואה" (Crop Circles) למרות שחלק ניכר מהתבניות אינן מעגליות, ולעיתים הן מופיעות על שלג או על חול.
"משולש סיירפינסקי" שהתגלה ב-17 בפברואר 2010.

המקור: http://stungeye.com/archive/by_date/2010/02/17
משולש סיירפינסקי מתקבל כאשר מ"מרכז" משולש שווה צלעות "גוזרים" משולש שווה צלעות שמידות האורך שלו הן מחצית ממידות המשולש המקורי. חוזרים על הפעולה עם המשולשים החדשים שנוצרו שוב ושוב.

בקישור הבא תוכלו לראות הנפשה של תהליך יצירת המשולש.
http://en.wikipedia.org/wiki/File:Animated_construction_of_Sierpinski_Triangle.gif
כדי להבין את המאמץ הכרוך ביצירת תבניות אלה בשדות תבואה (בדרך כלל בלילות חשוכים) הקוראים מוזמנים לשרטט על ניר את התבניות תוך התבוננות על התמונות שתראו בהמשך. תוכלו להשתמש בכל אמצעי שרטוט בו תחפצו (סרגל, מחוגה, "שבלונה" אבל לא במחק…). לאחר שתסיימו נסו להעריך מה נדרש כדי ליצור תבניות אלה בשדות פתוחים.
מתי החלה התופעה?
תבניות גיאומטריות בשדות חיטה אינן תופעה חדשה. העדות העתיקה ביותר הידועה כיום היא ידיעה בפמפלט אנגלי משנת 1678 שכותרתה "השטן הקוצר" ושמתארת אירוע יוצא דופן שאר באזור הרטפודשייר בדרום אנגליה. ביולי 1880 הופיע בכתב העת המכובד Nature פרסום של מחקר קצר אותו ערך מדען חובב בשם John Rand Capron שעסק בחקר תופעות מזג אוויר. הכותב מדווח על תבניות שהופיעו בשדה תבואה באנגליה לאחר לילה סוער במיוחד, ודיווחו מכיל תיאור מדויק של מעגל תבואה "קלאסי".
בתחילת שנות השבעים של המאה ה 20 החלו להופיע בשדות דרום אנגליה תבניות גיאומטריות פשוטות שהשתכללו מאד עם הזמן. רוב התבניות מופיעות בתקופה שבין אפריל לאוגוסט בכל שנה, ונוצרות במהלך הלילה. מספר לא מבוטל של אנשים החלו לחקור את התופעה ולתעד אתה בדו"חות, בצילומים ובאתרי אינטרנט.
בין האתרים המובילים המתעדים את התופעה אפשר לציין את:
- Temporary Temples – דף פייסבוק ובו תמונות רבות של מעגלי תבואה

2. האתר של Lucy Pringle – אחת מהחוקרות הראשיות של התחום באנגליה. באתר ניתן למצוא תמונות, מאמרים, סרטי וידאו, קטעי עדויות ועוד. קטלוג התמונות מכיל תמונות של מעגלי תבואה מאז יולי 1990 ועד אוגוסט 2022.

היוצרים הנסתרים של התבניות בשדות התבואה מגלים חיבה מיוחדת למתמטיקה בכלל ולגיאומטריה בפרט. ברבות מהתבניות ניתן לזהות צורות גיאומטריות ידועות לצד צורות מקוריות, ביטוים מורכבים של סימטריות לסוגיהן השונים, אפקטים וויזואליים של של גופים תלת מימדיים המושגים באמצעות טכניקות של הטלות איזומטריות ואף רמיזות למשפטים חדשים בגיאומטריה אוקלידית (ראו להלן). אחד המעגלים המפורסמים שנוצרו בשנים האחרונות וצילומיו מופיעים באתר של לוסי פרינגל הוא המעגל הבא.

הסבר על הקשר בין המעגל המיוחד הזה לבין אחד המושגים המרכזיים בגיאומטריה האוקלידית יובא בהמשך הדברים.
זה המקום לציין כי "הקווים הישרים" הנראים בתמונות אינם חלק מהתבניות. מדובר בתלמים הנוצרים בעת נסיעת כלים חקלאיים העוסקים בריסוס השדות. המרחק בין שני תלמים סמוכים הוא כ-1.5 מ', המרחק הממוצע בין שני צמדי תלמים סמוכים הוא כ-25 מטרים. מרחקים אלה מסייעים בהערכת הגודל של התבניות המרשימות הללו, והקוראים מוזמנים לעשות זאת על מנת לקבל מושג על מידת ההשקעה הנדרשת ליצירת תבניות אלו.
מי עומד מאחורי יצירת המעגלים?
אך מובן וטבעי הוא שהשאלה הראשונה שנשאלת בהקשר למעגלי התבואה הללו היא מי מייצר אותם ומדוע? במהלך השנים הופיעו אנשים שהכריזו על עצמם כיוצרי המעגלים תוך שהם מסבירים כיצד הם עושים זאת ומדגימים את פעולתם. המפורסמים מבין "נוטלי האחריות" היו שני בריטים, דאג באואר ודיויד קורלי, שטענו בשנת 1991 שהם עומדים מאוחרי התופעה. שניהם היו אז בשנות ה-60 לחייהם, והדגימו מעגל כזה. קל לראות את ההבדל בין "רמת הגימור" של המעגל שלהם למעגל שהוצג בתרשים הקודם.

השניים נעלמו מאז מעיני הציבור, אך מאות תבניות המשיכו לצוץ תוך שהן הופכות למורכבות ומתאגרות יותר. ניסיונות נוספים להדגים יצירת מעגלי תבואה באמצעים הפשוטים שתוארו על ידי מי שבטוחים שמדובר ביצירה אנושית שמאחוריה יש מוטיבציות אומנותיות או רצון למתוח את הציבור, הולידו תוצאות מגוחכות לא פחות:




אחת הטענות היא כי הצורות הלא מקצועיות הללו הן למעשה תוצאות תרגול של מתחילים, ואחרי שלב הלמידה מתקבלות התבניות המושלמות שמתפרסמות ברשת. על כך עונים המקטרגים היכן אפוא תוצאות התרגול הללו? לו זה היה המצב היו צריכים להימצא בשדות הרבה יותר "תרגילים" של מתחילים, ובפועל אין בנמצא כאלה – מיעוט מבוטל מהתבניות נראה גרוע כל כך.
לצד ה"יצירות" האלה ניתן למצוא תבניות יפות ומדוייקות שנוצרו ללא ספק בידי בני אדם מזוהים, וזאת לצורכי פרסום. יצירת התבניות הללו ארכה מספר ימים באור יום, ונדרשו להן צוותים גדולים של מבצעים שנעזרו בציוד מכני שכלל מנופים.

הוויכוח הגדול בין מצדדי "ההסבר האנושי" לתופעה ובין הטוענים שחלק מהמעגלים לא יכול להיווצר על ידי בני אדם בטכנולוגיות המוכרות לנו כיום נמשך בקול תרועה רמה, וניתן למצוא אתרים שלמים העוסקים בטיעונים בעד ובטיעונים שכנגד אחד המעמיקים שבהם נמצא בקישור הזה.
מי מבינכם הסובר שאין מה להתרגש יתר על המידה וכי בסך הכל מדובר ב"השטחה" של כמה שיבולים בעזרת טכניקות רמיסה פשוטות, מוזמן להתבונן בתבנית הבאה ובהגדלת הפרטים המופיעה בצד ימין:

לסיום פיסקה זו אתם מוזמנים להיענות לאתגר הבא. בליל ה-12 באוגוסט 2001 הופיעה התבנית הבאה באחד השדות בדרום אנגליה. התבנית מכילה למעלה מ 400 מעגלים וקוטרה עולה על 300 מטרים. בתמונה התחתונה ניתן לראות כי השדה עליו הופיעה התבנית איננו מישורי. הנהלת אחד האתרים ברשת הציעה לפני מספר שנים פרס של 5000 לירות שטרלינג (כ 30,000 ₪) למי שיצליח לשחזר את התבנית על חולות החוף של בלקפול עם צוות גדול כרצונו, וציוד הניתן לנשיאה בשתי מכוניות וזאת מבלי להשאיר עקבות כלשהם. על מנת לזכות בפרס יש ליצור את התבנית בלילה בפרק זמן של כמה שעות. ככול הידוע למחבר המאמר הזה, הפרס לא נדרש עד היום.


ומה באשר לגיאומטריה "שמיימית"?
ובחזרה למעגל התבואה המסתיר בתוכו את אחד הקבועים המתמטיים המפורסמים ביותר – pi

תבנית זו הופיעה בשדה הסמוך למקום הנקרא: Barbury Castle ב-1 ביוני 2008.
מספר ימים לאחר הופעת התבנית ופרסומה באמצעי תקשורת שונים, פענח אותה האסטרופיסיקאי האמריקאי Mike Reed ופרסם כי מדובר בייצוג גרפי של הקבוע הגיאומטרי pi שמבטא את היחס שבין היקף המעגל וקוטרו. "שיני המסור" המופיעות בתבנית הן למעשה קשתות המייצגות את הספרה המתאימה לייצוג העשרוני של pi בדרגת דיוק של תשעה מקומות מימין לנקודה העשרונית. ראו המחשה בשרטוט הבא:

לצורך הבנת ההסבר הבא מומלץ להסתכל בצילום התבנית ובדיאגרמה הצבעונית שמתחתיה לסירוגין. המעגל מחולק ל-10 גזרות (נכנה אותן בהמשך "גזרות בסיסיות") בעלות זווית מרכזית של 360 כל אחת. "הזנב העשרוני" של p מתפתח ממרכז המעגל החוצה באופן ספירלי. המעגל הפנימי "עטוף" בקשת בגודל שלוש גזרות הצבועות בצבע אדום, כשלימינן נקודה עשרונית בולטת. קשת פנימית זו מבטאת את המספר 3 המופיעה משמאל לנקודה העשרונית במספר pi. הספרה הבאה, 1, שהיא הספרה הראשונה מימין לנקודה העשרונית ב pi מסומנת בדיאגרמה בצבע ירוק. רדיוס הגזרה גדול יותר (כך נוצרת ה"שן הראשונה של המסור"), אבל היא מכילה "גזרה בסיסית" אחת בלבד. הספרה הבאה בפיתוח העשרוני של pi היא 4. היא מיוצגת על ידי ארבע גזרות בסיסיות בצבע סגול היוצרות את ה"שן השניה של המסור" וכך הלאה. השן החיצונית, הכחולה, מבטאת את הספרה התשיעית בפיתוח העשרוני של pi שערכה 4. היא מורכבת מארבע גזרות בסיסיות שרדיוסן הוא הארוך ביותר.
בתחילת שנות התשעים של המאה העשרים החל האסטרונום הבריטי ג'ראלד הוקינס (1928–2003), מדען בריטי שפעל גם בארה"ב ושנים קודם לכן גילה עניין באתר סטונהנג' ובאתרים דומים אחרים, לגלות עניין במעגלי התבואה שהחלו לצוץ בשדות דרום אנגליה. בתוך מספר שנים הוא פרסם חמישה משפטים גיאומטריים אותם גילה תוך כדי התבוננות במעגלי תבואה שהופיעו בשדות אנגליה. להפתעתו הוא לא מצא משפטים אלה בכתבי אוקלידס, ופנייתו לאנשי מקצוע נוספים להצביע על מקור משפטים אלה לא נענתה. המשפטים עוסקים ביחסים הנוצרים בין מעגלים, משולשים ומצולעים המשיקים לישרים משותפים או שיש להם מרכזים משותפים.
לשם ההמחשה, נצטט כאן את המשפט השני של הוקינס:
היחס בין שטח המעגל החוסם משולש שווה צלעות לשטח המעגל החסום בו הוא 4:1

יודגש כי הוקינס לא טען שהמשפטים מפתיעים במיוחד או מסובכים להוכחה. הטענה הייתה שהם לא מופיעים בכתבים המקוריים של אוקלידס.
המשפט החמישי הוא הכללה של ארבעת קודמיו, והוא פורסם בגיליון חודש מאי 1998 בעיתון “Mathematics Teacher”. ייחודו של משפט זה הוא בכך שהוא בעל "אופי דינמי", כלומר שינוי של פרמטר באחד ממרכיביו יוצר מצב הנראה שונה לחלוטין ממצב המוצא (ראו להלן).

בבסיסו, עוסק המשפט החמישי במשולש המונח על מישור ובו ארבעה מעגלים קונצנטריים כאשר צלעות המשולש משיקות לשלושת המעגלים הפנימיים (כל צלע למעגל אחר), וקודקודי המשולש מונחים על המעגל החיצוני (ראו בשרטוט) . הדינמיות נוצרת כאשר משנים את תכונות המשולש. לדוגמה, כאשר המשולש הוא שווה צלעות שלושת המעגלים הפנימיים מתלכדים למעגל אחד, ומתקבל המשפט השני שתואר למעלה.
בסרטון הבא ניתן לצפות בהוקינס כשבין השאר הוא מציג את השערותיו ביחס ליכולות המתמטיות של מי שיוצרים את ההטבעות בשדות התבואה.
מי אם כן יוצר את מעגלי התבואה ומדוע?
אין תשובה מוסכמת לשאלה מרתקת זו. לצד אנשי הזרם המרכזי במדע הפוטרים שאלה זו בחיוך הגובל בלעג ובאמירה כי מדובר בחבורה של אנשים המהתלים באחרים ללא הרף, נמצאים רבים וטובים הטוענים כי בני אדם אינם מסוגלים לייצר כמויות כל כך גדולות של תבניות משתכללות והולכות בכל שנה תוך הוכחת ידע מרשים במתמטיקה ובאסטרונומיה, וזאת מבלי להותיר עקבות ומבלי להיתפס בשעת מעשה. אלה האחרונים מייחסים את התבניות לכוחות שאינם מוכרים עדיין למדע.
באשר לסיבות הניתנות לביצוע התבניות הן כמובן תלויות במוטיבציה של מי שיוצר אותן, וגם כאן תוכלו למצוא סיבות כגון רצון למתוח אחרים ולגרום להם להשתטות בהסברים "חוצניים" (קשה לאלה להסביר מדוע יוצרי המעגלים נסתרים מהעין, ולא באים לתבוע את התהילה המגיעה להם על היצירות המפוארות הללו). באשר לטוענים כי המעגלים אינם מיוצרים על ידי בני אדם, אפילו השמיים לא יכולים להוות גבול להסברים שניתנים על ידם ליצירת המעגלים המסתוריים.
המתעניינים המסוקרנים מוזמנים להעמיק את ידיעותיהם על התופעה וספחיה באמצעות עיון ברשת ושימוש בצמד מילות המפתח: Crop Circles. תעלומת זהותם של יוצרי התבניות בשדות התבואה, והסיבות לביצוע היצירות הללו ממתינה עדיין לפתרונה. לסיבור העין, מצורף ויטראז' מרשים של עשרות רבות של "הטבעות תבואה" שהופיעו בעשרות השנים האחרות.

לסיום, מצורף עוד סרט שיגביר את המסתורין ביחס ליוצרי התבניות ולמטרותיהם.
מקורות:
- New Geometry in English Crop Circle, ( 1998). Mathematics Teacher,. P 441
- Taylor, R. ( 2010). The Crop Circle Evolves. Nature, p 693
- https://www.bbc.com/travel/article/20210822-englands-crop-circle-controversy
- http://en.wikipedia.org/wiki/Crop_circles.
- hhttps://cropcircles.lucypringle.co.uk/
המעוניינים להעמיק את ידיעותיהם בנושא, מוזמנים להיכנס לדף הנקרא "יומני מעגלי התבואה" שהפיקה פטי גריר ונמצא באתר מקום לדעת – KNOWHERE ושהעלתה יעל רמון. הנאה רבה מובטחת !

באתר בקישור הזה ניתן לראות עוד מאות תמונות של הטבעות בשדות תבואה שאותרו ברחבי העולם.